Программа проведения вступительных испытаний по дисциплине «Математика»

Программа по математике состоит из двух разделов. Первый из них представляет собой перечень основных математических понятий и фактов, которыми должен владеть поступающий. Во втором разделе перечислены основные математические умения и навыки, которыми должен владеть абитуриент.

Абитуриент должен знать

Арифметика, Аалгебра и начала анализа

  • Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Общий наибольший делитель. Общее наименьшее кратное.
  • Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
  • Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел.
  • Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей.
  • Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.
  • Числовые выражения. Выражения с переменными. Арифметический корень.
  • Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.
  • Логарифмы, их свойства.
  • Одночлен и многочлен.
  • Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.
  • Понятие функции. Способы задания функции. Область определения, множество значений функции. Функция, обратная данной.
  • График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность и нечетность.
  • Определение и основные свойства функции: линейной, квадратичной y=ax2+bx+c, степенной y=axa ( a R ), y=kx, показательной y=ax, a >0, логарифмической, тригонометрических функций ( y=sin x; y=cos x; y=tg x ).
  • Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.
  • Формула корней квадратного уравнения. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
  • Неравенства. Решение неравенства. Понятие о равносильных неравенствах.
  • Свойства числовых неравенств.
  • Система уравнений и неравенств. Решение системы.
  • Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.
  • Формулы приведения.
  • Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
  • Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).
  • Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента.
  • Преобразование в произведение сумм sin( a )+sin( B); cos( a)+cos( B ) и произведений sin( a )cos( B ); sin( a )sin( B ); cos( a )cos( B ) в суммы.
  • Решение уравнений вида sin( x )=a, cos( x )=a, tg( x )=a .

Геометрия

  • Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные прямые, признаки параллельности прямых.
  • Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.
  • Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
  • Свойства равнобедренного треугольника.
  • Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.
  • Признаки равенства и подобия треугольников.
  • Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка и от сторон угла.
  • Окружность, описанная около треугольника и вписанная в треугольник.
  • Теорема Пифагора.
  • Теоремы синусов и косинусов.
  • Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
  • Признаки параллелограмма.
  • Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор.
  • Измерение угла, вписанного в окружность, и центрального угла.
  • Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.
  • Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.
  • Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.
  • Векторы. Операции над векторами.
  • Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.
  • Параллельность прямой и плоскости.
  • Угол между прямой и плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.
  • Двухгранные углы. Линейный угол двухгранного угла. Перпендикулярность двух плоскостей.
  • Многогранники. Их вершины, ребра, грани, диагонали. Прямая и наклонная призмы; пирамида. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды, их виды.
  • Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.
  • Формулы объема параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара.
  • Формулы площади поверхности пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, сферы.

Абитуриент должен уметь

  • Производить арифметические действия над числами, заданными в виде десятичных и обыкновенных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты вычислений.
  • Проводить тождественные преобразования многочленов, дробей, содержащих переменные, выражений, содержащих степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
  • Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций.
  • Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и неравенства, приводящиеся к ним, решать системы уравнений и неравенств первой и второй степени и приводящиеся к ним. Сюда, в частности, относятся простейшие уравнения и неравенства, содержащие степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
  • Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений.
  • Изображать геометрические фигуры на чертеже и производить простейшие построения на плоскости.
  • Использовать геометрические представления при решении алгебраических задач, а методы алгебры и тригонометрии - при решении геометрических задач.
  • Выполнять операции над векторами и пользоваться свойствами этих операций.